חידות

כללי

חידה 1

נגדיר את הפונקציה $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ שמקבלת מספר טבעי ומחזירה את מספר הספרות האי זוגיות שלו בבסיס 10. למה מתכנס הסכום: $\sum _{i=1}^{\inf }{\frac {f(2^{i})}{2^{i}}}$

חידה 2

יש לי 8 בטריות, 4 שפועלות ו-4 שלא, אני לא יודע מי מהן פועלת. יש לי שלט שאני רוצה להפעיל והוא דורש 2 בטריות. אם אני מכניס לתוכו לפחות בטריה אחת שלא עובדת הוא לא פועל. מה מספר הזוגות המינימלי שאני צריך להכניס עד שהשלט בהכרח יפעל.

חידה 3

ישנה גננת ולגננת אינסוף ממתקים, היא מעמידה את n ילדי הגן במעגל ומתחילה לחלק להם ממתקים בסדר הבא: היא נותנת ממתק לילד הראשון, מדלגת ילד אחד, נותנת ממתק לילד הבא, מדלגת שני ילדים וכן הלאה.

עבור איזה ערכי n כל הילדים יקבלו ממתק מתישהו?

חידות גמדים

חידה 1

במעגל עומדים n גמדים ועל הראש של כל אחד מהם יש כובע באחד מ-n צבעים אפשריים, ברגע מסויים כל גמד צריך לנחש את צבע הכובע שיש לו על הראש. הגמדים צריכים לתאם אסטרטגיה כך שלפחות אחד מהם בהכרח יצדוק.

חידה 2

במעגל עומדים n גמדים ועל הראש של הגמד ה-i יש כובע באחד מ-$a_{i}$ צבעים אפשריים, ברגע מסויים כל גמד צריך לנחש את צבע הכובע שיש לו על הראש. מה התנאי על $\{a_{i}\}_{i=1}^{n}$ כך שבהכרח אחד מהם יוכל לומר את הצבע שעל הראש שלו.

חידה 3

במעגל עומדים n גמדים ועל הראש של כל אחד מהם יש כובע עם מספר טבעי, ברגע מסויים כל גמד צריך לנחש כמה גמדים חובשים כובע אם אותו מספר כמוהו (כולל אותו). הגמדים צריכים לתאם אסטרטגיה כך שלפחות אחד מהם בהכרח יצדוק.

מתמטיקה

חידה 1

נתונה חבורה סופית G ותת חבורה ממש H. נניח שהמשלים של H ב-G מוכל במחלקת צמידות של G. הראו כי H מגודל אי זוגי

חידה 2

חידה נחמדה לקראת סוף החגים;

יהי n > 1 מספר טבעי.

יהיו $P_{1},P_{2},Q$ תמורות על הקבוצה $[n]=\{0,1,...,n-1\}$

עבור אילו ערכי n ניתן למצוא תמורות $P_{1},P_{2},Q$ כך ש:

(יש למצוא דוגמה לכל n אפשרי, ולהוכיח עבור n לא אפשריים)

1. $P_{1}+P_{2}\equiv _{n}Q$

2. $P_{1}\cdot P_{2}\equiv _{n}Q$

3. $P_{1}^{P_{2}}\equiv _{n}Q$ ($0^{0}$ לא מוגדר)

כשהפעולות מתקיימות איבר איבר

אלגוריתמיקה

חידה 1

נתון מערך של מספרים, תצריך למצוא את תת הסכום הכי גדול שלא מכיל אף שני מספרים סמוכים

חידה 2

1. בהינתן מערך של 2n+1 שמחולקים ל-n זוגות של מספרים זהים ועוד מספר אחד ששונה מהשאר, תנו אלגוריתם שמוצא בזמן יעיל את המספר הבודד.
2. עכשיו יש 2n+2 מספרים מתוכם 2 לא שווים לשום דבר אחר, תמצאו אותם בזמן יעיל.