עריכת הדף "חידות" (פסקה)

= מתמטיקה =

== חידה 1 ==
נתונה חבורה סופית G ותת חבורה ממש H. נניח שהמשלים של H ב-G מוכל במחלקת צמידות של G. הראו כי H מגודל אי זוגי

== חידה 2 ==
חידה נחמדה לקראת סוף החגים;

יהי n > 1 מספר טבעי.

יהיו <math>P_1, P_2, Q</math> תמורות על הקבוצה <math>[n] = \{0, 1, ..., n-1\}</math>

עבור אילו ערכי n ניתן למצוא תמורות  <math>P_1, P_2, Q</math> כך ש:

(יש למצוא דוגמה לכל n אפשרי, ולהוכיח עבור n לא אפשריים)

1. <math>P_1 + P_2 \equiv_n Q</math>

2. <math>P_1 \cdot P_2 \equiv_n Q</math>

3. <math>P_1^{P_2} \equiv_n Q</math> (<math>0^0</math> לא מוגדר)

כשהפעולות מתקיימות איבר איבר

== חידה 3 ==
יהיו <math>A \in M_{20\times 20}</math> מטריצה, <math>v \in \mathbb{R}^{20}</math> וקטור ו-<math>\phi \in {\mathbb{R}^{20}}^\ast</math> פונקציונל לינארי, נתונה הסדרה <math>a_n = \phi(A^n\cdot v)</math> עבור <math>1 \leq n \leq 1000</math> האם אפשר לדעת את <math>a_{1001} </math> כש:

# <math>A, \phi </math> ידועים אבל <math>v</math> לא ידוע
# <math>\phi </math> ידוע אבל <math>v, A</math> לא ידועים

== חידה 4 ==
אני צריך למלא מערך באורך n במספרים טבעיים כך שלכל i,j אינדקסים במערך ה-gcd של כל האיברים בין אינדקס i לאינדקס j הוא יחודי לזוג i,j. מה גודל המספר המקסימלי במערך חייב להיות לפחות?

== חידה 6 ==
צריך להוכיח שבכל גרף יש שני קודקודים מאותה הדרגה.

מה הם כל הגרפים שיש בהם בדיוק שני קודקודים מאותה הדרגה?