עריכת הדף "חידות" (פסקה)

= כללי =

== חידה 1 ==
נגדיר את הפונקציה <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> שמקבלת מספר טבעי ומחזירה את מספר הספרות האי זוגיות שלו בבסיס 10. למה מתכנס הסכום: <math>\sum_{i=1}^\inf \frac{f(2^i)}{2^i}</math>

== חידה 2 ==
יש לי 8 בטריות, 4 שפועלות ו-4 שלא, אני לא יודע מי מהן פועלת. יש לי שלט שאני רוצה להפעיל והוא דורש 2 בטריות. אם אני מכניס לתוכו לפחות בטריה אחת שלא עובדת הוא לא פועל. מה מספר הזוגות המינימלי שאני צריך להכניס עד שהשלט בהכרח יפעל.

== חידה 3 ==
ישנה גננת ולגננת אינסוף ממתקים, היא מעמידה את n ילדי הגן במעגל ומתחילה לחלק להם ממתקים בסדר הבא: היא נותנת ממתק לילד הראשון, מדלגת ילד אחד, נותנת ממתק לילד הבא, מדלגת שני ילדים וכן הלאה. 

עבור איזה ערכי n כל הילדים יקבלו ממתק מתישהו?

== חידה 4 ==
נתון שולחן מלבני שניתן לסדר עליו 100 מטבעות בלי חפיפות כך שלא ניתן להוסיף אף מטבע לשולחן בלי שהוא יחפוף לאחד המטבעות האחרים. צריך להוכיח שניתן לכסות את השולחן עם חפיפות ב-400 מטבעות לכל היותר.

== חידה 5 ==
שני אנשים משחקים משחק. על השולחן יש 9 פתקים עם המספרים מ-1 עד 9. כל אחד בתורו לוקח את אחד הפתקים שעדיין על השולחן. הראשון שיש בידיו 3 פתקים שהסכום שלהם הוא 15 מנצח. למי מהשחקנים יש אסטרטגיה מנצחת?

== חידה 6 ==
לאליס יש דיסק שעליו יש 100 ביטים שכולם מאותחלים ל-0. בדיסק אפשר להפוך ביט מ-0 ל-1 אבל אי אפשר להפוך אותו חזרה ל-0. אליס רוצה לשלוח הודעה לבוב על הדיסק ואז בוב רוצה לשלוח לה חזרה הודעה על אותו הדיסק. מה אליס ובוב יכולים לתאם מראש פרוטוקול בינהם. האם הם יכולים לשלוח הודעות כך שסכום אורכי ההודעות יהיה גדול מ-100?

== חידה 7 ==
אני מטיל קוביה רגילה עד שסכום ההטלות שלי גדול או שווה 12. מה הערך הסביר ביותר לסכום ההטלות.

== חידה 8 ==
יש n טענות בעולם, וכל טענה היא או נכונה או לא נכונה.

ידוע שכל בנאדם צודק על רוב הטענות (מעל חצי). ידוע גם שכל שני אנשים חולקים אחד על השני על רוב הטענות.

כמה אנשים לכל היותר יש בעולם, בסדר גודל?

== חידה 9 ==
על לוח משבצות בגודל 7X7 עומדות 49 חיפושיות, אחת על כל משבצת. ברגע מסויים כל חיפושית זזה למשבצת שצמודה עליה במאונך (למעלה, למטה, ימינה או שמאלה). האם יכול להיות שאחרי התזוזה על כל המשבצות תהיה חיפושית?

== חידה 10 ==
האם אפשר לכסות לוח משבצות בגודל 8X8 שחסרה לו משבצת באחת הפינות באבני טרימינו (1X3)?

== חידה 11 ==
שני אסירים וסוהר משחקים את המשחק הבא: לסוהר יש n מנורות. הוא מראה את המנורות לאסיר 1, ועובר עליהן בסדר לבחירתו. בכל פעם שהסוהר עובר למנורה הבאה, הוא שואל את אסיר 1 אם להדליק או לכבות אותה (האסיר רואה מי המנורה שהסוהר מצביע עליה). ככה המשחק ממשיך במשך n-1 מנורות, אבל במנורה האחרונה הסוהר מחליט בעצמו מה יהיה מצב המנורה.

בשלב הזה אסיר 1 יוצא ואסיר 2 נכנס לחדר, מסתכל על המנורות, וצריך לנחש מי הייתה המנורה האחרונה. אסיר 2 לא יוכל תמיד להצליח בניחוש אחד, אז נותנים לו k ניחושים.

הראו שאם k≥√n, האסירים יכולים לתאם אסטרטגיה שבה אסיר 2 בהכרח יצליח לנחש מי המנורה האחרונה.

== חידה 12 ==
במישור מעגלים ברדיוס 1. כל מעגל נחתך עם מעגל אחד אחר לפחות ואף שני מעגלים לא משיקים. צריך להוכיח שמספר נקודות החיתוך גדול או שווה למספר המעגלים. 

== חידה 13 ==
100 נמלים עומדות על מקל באורך מטר, כל הנמלים הולכות בקצב של מטר לדקה. אם שתי נמלים נפגשות אחת עם השניה שתיהן מסתובבות במקום ומתחילות ללכת בכיוון ההפוך. אחרי כמה זמן אפשר להבטיח שאין יותר נמלים על המקל?

== חידה 14 ==
בחדר יש 100 ארגזים, בכל אחד מהם פתק עם מספר בין 1 ל-100 כך שכל מספר מופיע בדיוק פעם אחת. מחוץ לחדר יש 10 אנשים שלכל אחד מהם יש מספר בין 1 ל-100. כל אחד בתורו נכנס לחדר וראשי לפתוח עד 50 קופסאות. לפני שהם נכנסים לחדר, חבר שלהם נכנס לחדר, מסתכל בכל הקופסאות וראשי להחליף בין הפתקים שבשתי קופסאות. איך הם יכולים לתאם אסטרטגיה כך שכולם בהכרח ימצאו את הפתק עם המספר שלהם?

== חידה 15 ==
נתון גרף, בכל צומת שלו יש מנורה. בכל שלב אפשר לבחור מנורה ולשנות את המצב שלה ושל כל השכנים שלה. צריך להוכיח שאפשר לעבור ממצב שבו כל המנורות כבויות למצב שבו כולן דולקות.

== חידה 16 ==
בערמה יש 2001 אגוזים, בכל שלב מותר לך לקחת ערמה כלשהי, להוריד ממנה אגוז ולפצל את מה שנשאר לשתי ערמות לא ריקות. האם אפשר להגיע למצב שבו כל הערמות מכילות בדיוק 3 אגוזים

== חידה 17 ==
במישור יש n נקודות אדומות ו-n נקודות כחולות כך שאף 3 מבניהן לא נמצאות על אותו ישר. צריך להוכיח שאפשר להעביר קווים בין זוגות של נקודה אדומה לנקודה כחולה כך שאף שני קווים לא חותכים זה את זה.

== חידה 18 ==
שי ודין משחקים משחק, שי שולף 5 קלפים מחבילת קלפים סטנדרטית. הוא מסתכל על הקלפים ומניח 4 מתוכם על השולחן בסדר כלשהו (הוא יכול לשלוט רק בסדר ולא בשם דבר אחר). דין מסתכל על הקלפים שעל השולחן וצריך לנחש מה הקלף שנשאר ביד של שי. מה האסטרטגיה של שי ודין?

== חידה 19 ==
שי ודין משחקים משחק, על לוח שחמט (8X8) נמצאים 64 מטבעות כל אחד במצב עץ או פלי באקראי. שי מקבל מספר בין 0 ל-63 והוא צריך לשנות את המצב של אחד המטבעות מעץ לפלי או מפלי לעץ. דין מסתכל על הלוח וצריך לנחש מה המספר ששי קיבל. מה האסטרטגיה של שי ודין?

== חידה 20 ==
באי יש 13 זיקיות כחולות, 15 זיקיות ירוקות ו-17 זיקיות אדומות. בכל שלב ששתי זיקיות מצבעים שונים נפגשות הן משנות את הצבע שלהן לצבע השלישי. האם יכול להיות שכל הזיקיות יהיו באותו צבע?

== חידה 21 ==
44 עצים מסודרים במעגל, על כל עץ עומדת ציפור. בכל שלב שתי ציפורים זזות עץ אחד, אחת עם כיוון השעון ואחת נגד כיוון השעון. האם יכול להיות שכל הציפוריים יהיו על עץ אחד?

== חידה 22 ==
יש 6 מספרים שונים בין 1 ל-15. תוכיחו שיש שתי תתי-קבוצות שונות שלהם עם אותו סכום.

== חידה 23 ==
לוח משבצות בגודל 6X6 מכוסה באבני דומינו, צריך להוכיח שאפשר להעביר קו אופקי או אנכי שלא חותך אף אבן דומינו